Le plan directeur : Forme standard
Un problème d'optimisation mathématique, ou simplement un problème d'optimisation, prend la forme minimiser $f_0(x)$ sous réserve que $f_i(x) \le b_i$, pour $i = 1, \dots, m$. Formellement, nous l'exprimons comme suit :
$$\begin{aligned} &\text{minimiser} && f_0(x) \\ &\text{sous réserve que} && f_i(x) \le b_i, \quad i=1, \dots, m \end{aligned}$$Cette structure est le « ADN » de l'optimisation. Chaque symbole représente un composant essentiel du monde réel :
- Les leviers ($x$) : Le vecteur $x = (x_1, \dots, x_n)$ est la variable d'optimisation du problème. Ceux-ci représentent les décisions spécifiques ou les paramètres dont nous disposons — comme le poids du drone et la puissance du moteur.
- L'objectif ($f_0$) : La fonction $f_0 : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}$ est la fonction objectif, qui quantifie le « coût » ou la « perte » que nous souhaitons minimiser, comme l'énergie consommée par kilomètre.
- Les règles ($f_i \le b_i$) : Les fonctions $f_i : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}, i = 1, \dots, m$, sont les fonctions de contrainte (inégalité), tandis que les constantes $b_1, \dots, b_m$ sont les limites, ou bornes, des contraintes. Elles définissent l'espace « réalisable » — le drone doit produire assez de portance pour voler et ne peut pas dépasser la limite de poids de la batterie $b_i$.
La quête de l'optimum
Linéarité vs. Non-linéarité
La complexité de trouver $x^\star$ dépend entièrement de la nature mathématique de $f_0$ et $f_i$.
Si le problème d'optimisation n'est pas linéaire (ce qui signifie qu'il manque la proportionnalité et l'additivité), il est appelé un programme non linéaire. Les programmes non linéaires sont la frontière sauvage de l'optimisation ; ils manquent de la structure prévisible des systèmes linéaires et nécessitent un ensemble fondamentalement différent, souvent plus sophistiqué, d'outils analytiques pour être résolus.